exos XX (surfaces)

Salut les stars,

ici c'est pour commentaires et questions sur les exos surface.

Les corrigés de 1,3,6 sont parus. Pas de remarques ?

A venir, les corrigés de 2, 4 et 5.

Concernant 5, comment imaginez-vous le contour apparent ?

PG

Pour l'exo1: comment reconnait-on un cône à partir de l'équation cartésienne (si cela est possible ? )

Elle est de la forme f(P,Q,R)=0 où
1°) P,Q,R sont du premier degré en x,y,z
2°) les plans P=0,Q=0,R=0 s'interceptent en un seul point S (qui va être le sommet)
3°) f est homogène ie il existe alpha réel tel que f(l*x,l*y,l*z)=l^alpha*f(x,y,z) pour tous x,y,z et tout l>0.

Dans le cadre de l'exo 1 , P=x,Q=y,R=z-1 et alpha=3

Bonjour monsieur,

Pour la dernière question de cet exercice (projection de gamma sur les plans), j'ai instinctivement voulu remplacer dans l'équation de gamma les composantes x puis y puis z par 0, afin d'en déduire la géométrie du projeté.

En regardant la correction, j'ai vu qu'il ne suffisait pas de faire ça, mais n'ai pas compris comment vous avez trouvé les équations de projection.

Pourriez-vous s'il-vous-plait m'éclairer ?
D'avance merci

Merci Thomas pour cette excellente question !

Votre premier réflexe est parfaitement compréhensible, mais vous conduit à l'intersection de gamma avec
les plans de coordonnées et non à la projection de gamma

Pour vous répondre je commence par deux remarques :

Rq1 : si une courbe gamma vérifie deux équations (1) et (2) elle représente l'intersection de deux
surfaces S1 et S2 et toute équation (3) obtenue en combinant (1) et (2) définit une surface S3 qui contient gamma.
Rq2 : si une courbe gamma est tracée sur un cylindre de direction u alors la projection orthogonale de gamma
sur un plan orthogonal à u est incluse dans la section droite de ce cylindre.

Comme les cylindres de direction Oz sont caractérisés par des équations où z ne figure pas, donc
du type f(x,y)=0, les courbes tracées sur ce cylindre se projettent sur xOy à l'intérieur de la courbe f(x,y)=0,z=0.

Maintenant en revenant à l'exercice 4, il suffit de combiner (1) et (2) pour obtenir trois équations où l'une
des coordonnées ne figure pas (celà s'appelle l'élimination) ; ce n'est pas toujours facile !!!

(2) ne contient pas z d'où l'équation de la courbe contenant la projection de gamma sur xOy

(3)=(1)-(2) ne contient pas y d'où l'équation de la courbe contenant la projection de gamma sur xOz

De (3) j'obtiens x=(9-z^2)/6. Je remplace x dans (1) (ou dans 2) et j'obtiens une équation (4) ne contenant pas x.
Ce qui me donne l'équation de la courbe contenant la projection de gamma sur yOz.

J'espère avoir éclairci ce point ?

Merci beaucoup, c'est bien plus clair maintenant